11月5日，一篇长达111页的数学论文在网上流传，作者是美籍华裔数学家张益唐教授。文章题目为《离散平均数估计和朗道-西格尔零点》。在这篇论文里，张益唐教授称，自己已解决朗道-西格尔零点猜想。

此消息一出，可谓是在数学界轰动不已，网友们纷纷转发，奔走相告。但专业的数学问题让很多人只能当吃瓜群众，不明白到底是怎么回事。

此次硅谷课程上，高山书院邀请到了张益唐教授，亲自为大家解读他的研究。

以下内容整理自张益唐教授的课程分享，经老师专业审核后公开发布，感谢北京大学姜传洋博士对本文的审核指导。

张益唐教授在高山书院硅谷站课堂上

之前在纽约北大校友会上宣布我解决了朗道-西格尔零点猜想问题，这并不是胡扯，也不是我说错了什么，本质上我的确就是解决了数论中的这个难题。但实际上并没有网上传的这么轰动，在这里我也要澄清一下。

要解决朗道-西格尔零点猜想问题，一般认为有两种可能：一个是证明这个零点存在，一个是证明它不存在。

我所证明的是朗道-西格尔零点不存在。

如果存在的话，那会是非常了不得的事情，因为这样一来，就意味着黎曼假设是错的，很多人肯定是不会相信的。

今天给大家分享下我是怎么证明这个过程的。我会尽量用通俗的语言来描述。

数学里的“测不准原理”

我们知道物理里有“测不准原理”，其实数学里也有，或者准确的是说，是有结果但不能有效确定。就拿2013年我证明的孪生素数猜想举例来说吧。

素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数。孪生素数猜想通常被称为“素数间隔”，比如像（3，5）、（11，13）这样差为2的素数对。
孪生素数猜想是1900年希尔伯特在国际数学家大会上提出来的一个猜想，他认为，随着数字变大，可以观察到的孪生素数会越来越少。那么，到最后，会不会再也找不到新的孪生素数呢？
孪生素数猜想与黎曼猜想、哥德巴赫猜想一样，同属久负盛名的希尔伯特第八问题。被数学界认为“可能是永远无法解决的问题之一”。

目前做到的关于解决孪生素数的答案里，最好的是说两个素数之间的差小于和等于246的素数对有无穷多个。

我们知道素数的个数是无限的，而随着素数的增大，下一个素数与上一个素数之间的差应该越来越大。

如果把孪生素数进行推广，去掉（2，3）这个差值是1的这一对素数，其他的素数对差值都是2或者2的倍数，即都是偶数。经过计算最后发现，两个素数之间差值分别是2、4、6、8、10.....这种可能性只有123种，也就是差值为246及以下的素数是有无穷多对的。

怎么理解呢？

如果我们把无穷多个球装到123个箱子里，那么到最后至少有一个箱子里会装无穷多个球，这一点大家可以理解的吧？

用反证法来讲，假如123个箱子每个里面装的都是有限个球，那所有箱子加起来还是有限个球，那就不可能成立，所以至少有一个箱子里有无穷多个球。

现在，我们把一对素数对看做是一个球。比如把差值是2的素数对装进第一个箱子，差值是4的素数对装进第二个箱子，差值是6的素数对装进第三个箱子......

依此类推，那至少有一个箱子里有无穷多对素数，但是到底是哪个箱子，我们是算不出来的，是无法确定的，所以这就是数学里的“测不准原理”。数论里很多这样的特性，都是“算不准”的。

数学变成了神学，甚至是妖术？

说到朗道-西格尔零点猜想，首先给大家讲讲什么是“零点”。

给你一个函数，比如y=x²-1，当x为何值时，y=0，那就能找到这个函数的零点。对于这个函数，很简单，x=±1。也就是说，在x=±1时，这个函数有零点。

那如果是y=x²+1呢？在实数范围里是算不出来的，如果把虚数也考虑进来，在复数的范畴下解答的话，那就能解决了，x=±i。

也就是说，在复数范围内，一般的函数都是有零点的。

那么，黎曼假设讲的是什么呢？它认为，在复数范围内，有的函数在一定的范围内是没有零点的。

黎曼是一个非常伟大的数学家，丘成桐教授曾说过一个观点，他认为黎曼是人类历史上最伟大的数学家，没有之一。

为什么这么说呢，是因为黎曼的原创性思想特别多。无论是在分析、几何、数论等领域，他都做出了原创性的贡献。

1859年，他发表了一篇论文，就这一篇论文，诞生了一个百年谜题——黎曼猜想，但他在论文里不经意地说了一句，“这个证明过程不重要，从略。”这一句“不重要”让后世无数的数学家们前赴后继地去寻找这个证明过程。

2000年，美国克雷数学研究所在巴黎召开数学会议，投票评选出数学界的七大“千禧问题”之一，黎曼猜想位居榜首。

那么，黎曼猜想与朗道-西格尔零点猜想之间又有什么关系呢？

因为后来德国数学家狄利克雷把黎曼猜想进行了推广，引进了一大堆函数，从而产生了广义黎曼猜想，而广义黎曼猜想恰好又是朗道-西格尔零点猜想的充分条件。

实际上在我之前，西格尔大概在1930年代就已经证明了，在不能有效计算的范围里，朗道-西格尔零点不存在。但是并不是证明了就完了，这里面还牵扯很多的参数设置，你看他是这样证明的：

在一定范围下，如果前提是朗道-西格尔零点只存在一个的话，由于函数有很多个，有一个已经有零点了，那么其他的函数就都没有零点。
那如果我们再画出一个更大的范围，那在这个大的范围，所有的函数也都没有零点，再往外推，在无穷大的范围内所有的函数也都没有零点。

所以在这个意义上，我们说朗道-西格尔零点不存在。

但是究竟是在什么样的范围内？范围多大？这又取决于你的假设，而假设又不是证明，所以这就无法确定。

很多人可能会抗议，说这数学怎么变成了神学甚至是妖术？但事实上就是这样的，数学里有太多“测不准”的事情。

大家可能发现了不管是物理还是数论领域，很多重要的理论或者定义，都是用否定语气来叙述的，比如我这次发现的结论就是，朗道-西格尔零点不存在。

比如物理学里，狭义相对论简单来说就是，没有参照系的情况下，要测量绝对速度是不可能的；广义相对论也是一样，区分惯性质量和引力质量或者说区分惯性场和引力场是不可能的。

在数论领域，这样的描述更多。

把事情做到极致

昨天夜话上也跟大家聊过，其实我做事是希望尽量把事情做到极致，这样才有可能会发现一些新的东西。

张益唐教授在高山书院硅谷站夜话现场

时间关系，我就简单讲讲我的工作是怎么做的。

当初做孪生素数的时候，我的工作简单说来就是在数论里进行一系列的推导，推导到最后需要构造一个有限的实数序列，去证明这个序列里一定包含一个小于零的数。后来做朗道-西格尔零点问题时，最后也归结到这里了。

这个问题我断断续续研究了20多年，我发现了很多组序列，但都不是小于0，是非常接近于0的，所以始终证明不出来。

而最后我是怎么证明的呢？我把两组都非常接近0 的序列拿来再组合一个新的序列，不一定是负的，也不一定是正的，但最后弄出来的柯西不等式能推导出矛盾，问题就解决了。

后来我就想，数学甚至可以说是科学里，很多时候你可能觉得希望渺茫，但即便是做不出来结果，我们也可以尽可能去把它做到极致，说不定希望会出现了。

就像我始终无法证明零点是否存在的问题，但我把序列做到无限接近于0，然后再引进一个新的不等式，最后还是能把问题解决。

之前我看到过一个电影，陈凯歌导演的《我和我的祖国》，里面讲到一个香港的钟表匠，在香港回归的时候，为了把时间对准，没日没夜修表，坚决不出任何差错，最后做到了一秒不差。这个故事可能是虚构的，但他的匠人精神给我印象非常深刻。

在现在这个技术突飞猛进的网络时代，可能我就是把自己看成是数学上的一个工匠，成年累月地去做，不做到极致不罢休。我认为这是很重要，保持着单纯的匠人精神，就这样一直做下去。能够坚持这一点，我觉得就是成功的。

问答环节

张益唐教授（前排左二）与高山师生们在硅谷站

1. 文厨（高山书院创办人＆校长）

有人说，从孪生素数猜想到朗道-西格尔零点猜想，您完成了两次不可能，你自己怎么看？

张益唐：

我这个人的性格，就是喜欢做有挑战性的事。喜欢做别人认为不可能的事。

说到“不可能”这个事，其实是有这么个渊源的。2019年，《人物》杂志采访我，也采访了我身边的一些人，从他们那里去了解我。其中有我的一个同事，是个美国人，记者问他，“张益唐能证明朗道-西格尔零点猜想吗？”那个同事回复说，“他要是能做出来，那就相当于一个人被闪电击中2次。”

我们都知道，一个人被闪电击中一次的概率都很小，更别说是2次了。所以他是认为要做这个事情几乎是不可能的。

2. Tom Zhang（硅新社创始人，高山书院2018级同学）

我小时候看陈景润教授做数学研究的故事，说他演算纸用了好几麻袋。不知道张教授您是不是也用了好多演算纸？

张益唐：

我没有用这么多演算纸。我用的是电脑上一个很简单的软件，你们在座的很多人应该也都用过，就是加拿大的一款软件MAPLE，用来算算积分，基本就够用了。

我个人对陈景润教授是非常佩服的，在上世纪60年代那种环境下，别说电脑了，连个计算器都没有，所有的数据都要用算盘或者靠手算，这需要非常大的毅力，很少人能有这样的毅力，我从小就非常敬佩他，到现在也一直佩服他。

3. 周天羽（宽潭资本合伙人，高山书院2022级同学）

张教授，哥德巴赫猜想已经很久了都没有人能证明，您觉得它可能会从什么层面被解决？

张益唐：

从陈景润证明的哥德巴赫猜想“1+2”之后，我觉得还是需要等待新的原创的idea，这方面我做过一些尝试，但目前还没有做出来。

也有很多数学家在不断地研究中，什么问题都是可以慢慢被做出来的，没有必要太悲观。

4. 李晓（GurryShark Capital合伙人，高山书院2022级同学）

张教授，有了解到您不做数学研究的时候，也对诗歌等艺术作品感兴趣，不知道张受教喜欢什么的诗歌作品呢？

张益唐：

诗歌的话，我主要是欣赏中国古典诗歌，最欣赏的是杜甫的作品。

5. 谢晓泽（斯坦福大学终身教授）

刚才听您说“一个人被闪电击中2次”，觉得很有诗意。不知道张教授在做研究中，是否有那种突然迸发的灵感的状态？

张益唐：

灵感的突然出现，确实也有点像被闪电击中的感觉。

我记得很清楚的是，2012年7月3日，我在科罗拉多州的一个朋友家的后院里，想去看梅花鹿，但是鹿一直没有来。

那个时候我在心里想孪生素数的事情已经想了很久了，就在鹿一直没有的时候，我突然就把原来分开思考的两件事连在一起想了，结果就那么一瞬间，现在回想起来就有点像是被雷击中的瞬间，我就想通了那个孪生素数的问题。

6. 余晓帆（张首晟基金会主席）

孪生素数猜想到朗道-西格尔零点猜想，这两个问题之间有什么联系吗？

张益唐：

孪生素数猜想到朗道-西格尔零点猜想这两个问题之间是有一定的联系的，他们都可以归结到有限的序列问题上，都是去证明这两个有限的序列不都是正的，也存在负值。

数论里很多问题是相似的，很多解决问题的想法也是相通的。

7. 郭毅可（英国皇家工程院院士，欧洲科学院院士，香港浸会大学副校长，香港科技大学首席副校长）

世界经济论坛有个预测说，到了2060年，人工智能应该能做所有数学家能做的事，你觉得这个可能吗？

张益唐：

我在大学教数学，不管教什么，我的那些学生们都会觉得很容易，好像感觉就是天上掉下来的。所以我同意不管是到2060年还是哪一年，人工智能是有可能做数学家们能做的事情的，但是有一点，数论肯定是最后被人工智能攻克的，因为数论还是有难度的，这是我的感觉。

数论是很特别的，在数论里，像高斯这样的天才必须是要存在的，如果没有他们，数论很难发展起来。

郭毅可:

那人工智能对于解决数论问题有所帮助吗？

张益唐：

还是有可能有帮助的。比如希尔伯特第20个问题是前几年被解决的，就是电脑协助的，一部电脑还不够，还是好几部联动的。但这还不能算是人工智能。

我总认为将来人工智能对数论问题肯定是有帮助的，数论问题不是一个简单的计算问题，它比下围棋什么的都要困难得多。

夏志宏（美国西北大学终身教授，高山书院校董）：

作为一个数学家，大家可能觉得我应该很懂张益唐教授的研究，但是非常遗憾地告诉大家，其实并不太懂。素数或者说张教授研究的领域是非常艰深非常困难的。

从数学的整体发展而言，解析数论是数论中以分析方法作为研究工具的一个分支，是中国比较传统的强项。在这之前，因为很多年没有什么进展，很多人认为解析数论已经死了，张益唐教授的研究相当于复活了它，让很多研究解析数论的数学家们看到了希望。

张益唐教授的研究，是将这么多年来解析数论的研究做到了极致。是什么意思呢？就是一个想法出来了，把它做到人类智力上几乎无法跟随的深度上去。

8. 孙瑜（柔灵科技创始人兼CEO，高山书院2022级同学）

日常生活中，如何想办法让自己的灵感瞬间更多地发生？

张益唐：

在我看来，一个基本的前提就是你需要长期的积累，整天地想这个东西，成年累月地想，这样才有可能在某一个瞬间爆发。

我当年研究孪生素数，就是从两个不同的角度去思考了很久，后来发现把这两个角度的事情放到一起想，改了一些参数，突然灵感就来了，问题就解决了。

昨天夜话上我跟大家也聊过，其实不管是数学家还是谁，不管做什么，我们都是有局限性的，我总是这样随时提醒自己，我不可能一下子就做出多么大的贡献，只能在既有的基础上，创造更多的机会，一点点去摸索和尝试。

很多年前马克思说过这样一句话，“人们自己创造自己的历史，但是他们并不是随心所欲地创造，并不是在他们自己选定的条件下创造，而是在直接碰到的、既定的、从过去承继下来的条件下创造。”

9. 张倩（天际资本创始人，高山书院2017级同学）

如何培养孩子的数学素养？

张益唐：

找一些有趣的数学问题数字问题多去给他们讲，用有趣的问题熏陶他们。

比如我给我孙女讲过一个：你要确定一个数能不能被3整除，就把这个数的个位十位百位什么的都加起来，如果这个加和能被3整除，那么原始这个数也能被3整除。同样的，3换成9也可以，但换成7就不行。

像这样的例子有很多，小孩也能玩。不需要证明，让孩子们自己去想为什么。我觉得这是一种很有趣的引导孩子们对数学感兴趣的办法。不是要硬性强迫他们去学习。

10. 盘红兰（立德未来基金会副理事长，高山书院2020级同学）

很多人都认为数学研究很枯燥，请问你是怎么从小坚持下来的？力量来自何方？

张益唐：

能坚持下来是因为我从来没有认为数学是枯燥的。

我相信在座的很多朋友，也许你的专业不是数学，但你还是会对一些数学问题感兴趣，比如数论里的孪生素数猜想、哥德巴赫猜想什么的。我对这些个问题很容易懂，上中学甚至是上小学的时候就懂，但是要想去证明它，就不容易了。

这里面有很多已知和未知的东西，而这个已知和未知之间的差距，就很有意思。所以我相信对很多朋友来讲，数学不见得总是那么枯燥。

11. 袁征（Zoom创始人＆CEO）

从您的角度来看，这数学美在什么地方？

张益唐：

从我自己的角度来讲，数学的美在于它是有挑战性的，它挑战你生理的极限，不仅仅是个人的智力，而是整个人类智力的极限。

严格讲应该是从古希腊开始，数学就开始存在了。那时候研究的是诸如“长方形的对角线长度是不是有理数”，“用尺规能不能画出与给定圆面积相等的正方形”之类的问题，2000年前人们就提出这样的问题，本身就是很震撼的。

而“化圆为方”这样的问题，直到19世纪才被解决，结论是不可能，做不到。一个小小的数学问题，难倒了数学家们千年，这本身就有美的东西在里头。

还有一个例子，就是非欧几何。中学我们都学过欧几里得几何，其中第五公式的原意是，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。这么简单一个问题，但连欧几里得也没说清楚，过了2000年人们才知道怎么去解决这个问题。

所以你真的是不得不佩服2000年前的那些先驱们，每次想到这里，我都会被震撼到，从这里面，我就能体会到数学的美。

袁征：

数学里很多公式非常美，这些公式到底谁创建的，是上帝吗？还是这些公式自然而然是存在的？

张益唐：

是人创造的，也许这些人是比较接近上帝的。薛定谔方程是物理的，我们就先不说了。还有一个欧拉公式：

这个非常有意思，e是自然对数的底，i是虚数单位，一个简单的公式把几个基本的量都连在一起了，而且在数学上还有特别的应用，多么美妙。

袁征：

那这些公式是客观存在的吗？或者说是上帝本身就创建好的，只是等着人去探索，有的能被人发现，有的还没有发现？

张益唐：

这里我想引用19世纪德国数学家利奥波德·克罗内克的一句名言：“上帝创造了整数，其他都是人造的。”

我认为这些规律应该本身就是自然界存在的，不能说是人们创造了或者发明了它，只能说是发现，即客观存在的规律被伟大的数学家们发现了。

12. 李可佳（高山科学促进中心秘书长；极课大数据创始人，高山书院2020级同学）

在数学领域，人与人的差距真的就那么大吗？我以前上学的时候，觉得自己数学还挺好的，但后来进了少年班，发现很多人真的是不看书，但却非常厉害。我很好奇，拉马努金现象是真实存在的吗？是什么造成的？

张益唐：

拉马努金这个应该算是一个特例，32年的短暂生命，据统计留下3900个公式，确实是一个数学天才的存在。拉马努金猜想，按他自己的话来说，是他在梦里梦见了一位女神，女神给他的启示。

他留下的那么多公式，其实并不是所有的都是正确的，也有很多公式他自己也没有证明出来，而是过了很多年才被证明出来是正确的。现在还有专门的机构和人员研究他留下来的那些笔记。他的存在确实是一个奇怪的特例。

夏志宏：

我觉得每个人对数学的理解和感觉都是不一样的。比如有的人看到数字后就是个数字，有的人却可以看到其他的东西。比如给你一个车牌，一个号码，有的人会立马想到一些奇奇怪怪的东西，比如这个数是哪几个素数加在一起或怎么运算得到的等等，这个时候显然是没有女神的指引。

有的人看到数字之后，比如拉马努金，他的头脑里会飞快地转动，甚至想到各种拓扑空间之类的。

这就像每个人看到不同的颜色，他们的感受都很不相同。感觉好的人可能会成为了艺术家。

所以我觉得每个人都去找自己感觉好的方向去发展，在这个领域努力的话，肯定就会做好；而你感觉不好的时候，强行去做就会非常痛苦。其实这也是兴趣所在。

解决了百年数学难题？张益唐教授亲自回应来了